大学数学学习与中学的不同之处

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大学数学学习与中学的不同之处
王永晖
摘要：因为就大多数大一新生来讲，他们不晓得上大学后要干些什么，要怎么干。所以我2003年抽了个星期天连写了9小时，打出了这篇文章，以后每年又做了些修订。这样让学生有个选择参考意见的地方。我们在三大方面共九个侧面提示首师大的大一新生，大学数学学习与中学有哪些不同之处。希望能够得到你们的重视，从而自觉地转变思路，避免一些前人犯的遗憾。当然如果是刚入学的学生，可能还不能完全理解本文所讲的所有内容。即使如此，我们还是把这些问题做了一个系统的整理，因为只要能够在下面表格三大方面九个侧面中的一两个地方有所帮助，我们的学生也会因此而少走许多弯路，少浪费一些宝贵的青春时光。如此，方可以长江后浪推前浪。

学习状态
学习习惯
数学修养
学习动力
随时提问
符号对应
时间管理
随手记算
变形法
小组学习
“筛卦”整理
组合比较
一．大学学习的最大困难之处（学习状态）
要说明大学数学与中学数学的不同之处，首先得说明大学与中学的不同之处，这种不同之处有很多，我们可以把大多数放到后面的讲解中去。根据这几年的教学经验，我先指出大学学习的最大困难之处是什么。虽然对这个问题，我们没给出最直接的解决方案，但我想，我们对问题的提出和讨论过程本身，就会促进大家的思考。
那大学学习的最大困难之处是什么呢？是大学的学习内容、思维方式比较难掌握，从而造成的困难吗？不是，因为还有比它更难让老师教会学生的东西，那就是良好的学习习惯（第二章）。但这个还不是最难的，因为还有更深的困难，那就是我们的学习态度或者说学习状态。搞足球的米卢说过“态度决定一切”，并偷偷搞了一套他自己测验运动员态度的巧妙方法，用来选拔有前途的足球将士。万物的道理是相同的，大学科学学习或大学数学学习也是一样，“态度决定一切”。但这里我们不能仅停留在这个名词的模糊含义上，要进一步具体地解释大学中学习态度（状态）的具体含义，从而理解其中会蕴涵的困难。大家会发现，学习态度确实是一个人开始学习时会碰到的首要困难（第一个出现的困难），如果不能克服，就会变成自己的最大困难。
学习状态，据我总结，可以包含有三个方面：学习动力，时间管理，小组学习。
A．学习动力
学习的动力自然是最首要、最重要的。如果一个人连学习的动力都没有，或者最多是为了大学考试及格。如此动力缺乏，那么可以说后面的一切就根本不用谈了。其实不算那些极少数惰学的极端情况，即使对于一般的同学来讲（他们的志向并不仅局限于考试），这个问题也是普遍存在的。比如他们（包括我）也经常会遇到想学习但又提不起劲的情况。更雪上加霜的是，数学是所有学问中最抽象的学问，可以说，人对于抽象的东西要产生自发的兴趣（动力）是比较难的。为了了解这个困难，大家只要比较一下看电影时的兴高采烈就可以明白。看精彩电影时是不会有什么动力问题的，那么什么时候能够像看电影一样看数学呢。可能绝大多数人一辈子也达不到这个境界，于是学习动力（尤其是在数学方面）这个原始问题就成为大多数人的最大问题。而爱因斯坦那些伟人的一个重要特点是，他们对于这些抽象的东西，能够具有相同于我们看电影时产生的那种热情。当然，作为普通人，我们的期望值不会那么高，但如果这个值太低的话，确实会对我们的人生产生压抑感。
接着的分析自然就要牵扯到大学与中学的不同之处，这个不同之处继续加深了我们在学习动力方面遇到的困难。在中学，有老师、家长管着，这是外在动力占上风，可是大学中这个外在压力会突然消失，而一个成年人要面临的外在生存压力，因为距大学毕业还有四年，所以还显得遥远。总之，外在压力（动力）在大一新生中会突然消失（想想吧，尤其相比于高三的情况），有些同学可能要到大四找工作时，这个压力魔鬼才重新来临。也有些同学会准备考研，那么外在压力的感觉会在大三时就很强烈。而对大一、大二的学生来讲，在大学里，就好像鸟儿在空气中一样自由。这是好还是不好呢？当然好了，但有条件，如果这时一个学生仍然有其内在的学习动力，质和量足够用以支配他完成大一、大二（大学时期）最要紧的学业。
但也有些同学，外在压力突然消失，可他的内在的学习动力却其实是很弱的，只不过被高三的繁忙景象所掩盖。可是到了大学，一放松，那么这个矛盾就会让大一、大二的学习出现问题。这也是有些学生，虽然高考成绩很好，但到了大学，学习并不是很好的一个重要原因。这个原因对于北大、清华的学生也管用，但具体到首师大来讲，另一个（重要原因）可能是，这些中学学得比较好、甚至高考也不错的同学，觉得只考上了首师大，让人有些心灰意冷，对内在动力产生负面效应。他们没想到现代社会仍然会给他们的努力提供鲤鱼跃龙门的机会，最明显的就是考研。或者有些同学即使知道有这些事、这种种可能，但因为心理上还正在发育，没能将挫败感转化过来，应用于积极的行动。总之，这些都是内在动力不够的各种表面现象。
所以我们知道，学习动力又可细分为外在动力和内在动力。就好像人是用两条腿走路一样，外在动力和内在动力可以说是一个人精神上的两条腿。但在我们的教育中，却往往犯了一条腿蹦着走的毛病。为了解释这个毛病，我做一个比喻吧。好比我们一个人内心的学习动力可以换算成钱，精神领域中的钱吧，用它来支付我们学习、思考时需要用到的动力。比方说一个人刚开始上小学一年级，他有一万元。上完一年后，用掉了1000，还剩9000。仍然是挺多的。所以我们可以发现，小学生在课堂上是最活跃，最爱问问题的。中学生就不行了，因为一年年下来，就可能只剩下几块钱了。而为了应付高考，更是负的了，从家长、老师那借来的。结果很多同学上到大学后，他内心中的“钱”，可能已经是负债值了，要先通过玩，把它还了债才行。为什么呢？就是犯了一条腿走路的毛病，没有在自己外在知识增长的同时，让一个人内在的精神领域中的钱也增长。结果在大家最需要它的时候（因为还有四年，大家就要成为一个独立负责的成年人），给大家造成不同程度的麻烦。
（下面的Note是对正文中涂蓝文字的进一步解释，当你阅读时，鼠标点击涂蓝文字时，就会进入相应的Note。）
Note1. 大学中外在学习压力会突然消失的解释：a.家长自然鞭长莫及，b.大学老师也不会像中学老师一样，任课老师下课后就不再管学生了，只是说完学习的各项要求，等着学生去做。作业也不会催着交，只是记下来，最后期末考试算总帐。c.大学的考试也不像高考那种是选拔性考试，而是像体育课一样的达标性考试。虽然数学系的考试稍微会难一点，但对于有些聪明的同学，还是难以激发起挑战性。所以考试在表面繁难度上、在时间频率上也不会产生足够的压力。（之所以说表面繁难度，是因为数学系每次期末仍是有约30％的人考试不及格。对于这些人来讲，他们更是没有将本来就已不多的考试压力转化为行动。这些到底是为什么呢？我们文章的目的是要科学地分析，而不是要做大多数中学老师、家长实行的道德指责，那也没什么用的。）d.另外，宿舍有6个人居住，难免互相干扰，产生 的效果。所以经常会看到，往往是一个宿舍的人要么都学得好，要么都学得坏。因为在宿舍中，别的学得好的同学会给其他人自然产生出外在压力，而若多数人不用功的话，认真学习的人会不自觉地跟他们比较，以为自己已经做的不错了，降低了对自己的要求。其实也许，他们跟同宿舍的人比，学习已经够努力、够认真。但与他们的伟大志向相比，或者跟考研比，还是不够的。因为宿舍纪律这种外在压力，还没有被年轻同学们掌握(进一步的可参看小组学习)。
Note2. 为什么说大一、大二的学业是大学时期最要紧的呢？这从我们的考研就可以看出，全国各数学系的考研每年一月的初试有4门：数学分析、高等代数、英语（统考）、政治（统考）。这四门课全都是大一的课程内容。过了它才能进入下一步相对容易多的复试（专业课3、4月）。外系的考研也大致类似。可是我们很多同学在大一时的学习动力，也许足以用来使得期末考试及格甚至85分，但却达不到考研程度（选拔性考试）的要求。于是，他们在有老师辅导，有老师答疑的大一时没有把数学分析、高等代数学到足够考研的程度，到了大三再补时，自学能力又没在大一、大二养成。自学补习数学分析、高等代数只弄到一个似是而非的程度。而对于那些想考外校或外专业的同学，这种底子很虚的情况更是要命了。这样没能完成自己内心愿望和外在价值的大四学生，今年我就碰到了好几个。他们准备不找工作，在家读书明年再考。
小结： 大学学习的最大困难来自于高考结束后的剧变，即旧的外在压力突减，新的外在压力（成人）还没显明。而学习的内在动力，我们形象地把它比喻为精神领域中的“钱”，却在传统教育中，越花越少，到了大学，有些人甚至是负值。此时没能起到推动大一、大二（大学时期最要紧的）学业的作用。
可以看出，我们写到这里，只是将情况做了一个理智的分析，这比起很多老师、家长（中学多，大学也有）仅仅对学生做道德性的批判要强一些。我们指出，内在动力的不足，虽然是内心的东西，但却也是一个客观的存在。不可能仅仅指望一次痛定思痛似的道德忏悔，就可以解决问题。而是我们每一个人的长期的工作，正如外在知识的增长要一步一步来一样。所以如何增长自己精神领域中的“钱”，这个问题跟所有其它科学问题一样，还需要我们每一天的探索、努力，才能一点点的进步。解决方法应该就蕴藏在这个过程之中。也许有一天，你也许讲不出来什么大道理，但内心已能真实地感受到那种激情、热情了，于是也就成为一个内外相谐、快乐的人。
虽然我这里不写具体的解决方法，因为它不是知识，是蕴藏在学习整个过程之中的“感觉”（就用这个词吧）。但我还是要提供一些信息，也许可以帮助大家提高探索、建设自己精神领域中的“钱”（学习动力）的速度。这些信息我还是把它转化为问题的形式来表达吧。
1． 我们形象地将学习的内在动力比喻为精神领域中的“钱”，或者还有些人将其称为 “兴趣”。但不管怎样，这些词都是名词，因而缺少操作性。那么你能否用动词对其进行描述。进一步，你也就会明白
具体在数学领域，这个精神中的“钱”是什么？
注意，你的答案可以不是什么大道理，但必须对你的内心管用，否则你还得再探索。每个人的有效答案都会是不同的，所以这里我就不说出我自己的答案，但如果你已经在这个问题上做过30个小时的思考量时，你来找我，我可以进行针对你个性的交流。
2． 我们的内在动力是一条腿，该给另一条腿“外在动力”提供一些建议了。就是说你对你的未来职业、人生应该越早越好地进行规划。去图书馆（或网络）查相应的资料，是一个重要的途径。但另一个更重要的途径是与你感兴趣的领域中的前辈进行交流，他会节省你很多时间。指出你应该做出什么样的努力。可惜，正如我们上面所说，很多学生到大四时，才开始意识到要做这一点，但已经人老珠黄，只能随便了事了。
此节讲完，祝大家这两条腿走好。

B．时间管理
这也是大学和中学的很大不同之处：中学的课堂时间，一天都有安排。而大学强调培养学生的自学能力，所以给了你很多自由时间，你可以利用它学习，也可以去打球、玩，当然躺在宿舍床上睡觉也不会有人管。
但是，这个世界上很多事情是以时间为标志的。譬如说，同样一件事情，同样一种能力，同样一种境界，若人是在不同的年龄阶段达到，那效果是大大不同的。例如围棋界的李昌镐，据说，在十几岁的时候对围棋的理解，就达到了高手几十岁磨练的境界，即使在很小几岁的时候，每一步棋都能耐心想上20多分钟。这就是集中注意力的能力，是干任何事情的基础。但是同学们中有多少人能在幼儿时就达到了李昌镐这种程度呢（现在大家当然是都有这个能力了，但效果不同了）。同理，一个人在大一时，就把数学、英语这些基础课程学到能够考研的程度，跟这个人到大三准备考研或出国时再达到这种程度，那效果也是大大不同的。这就是时间的魅力。
常言道，只争朝夕，又曰，欲速则不达。我们已说明了“只争朝夕”的必要性，现在解释一下“欲速则不达”的道理。
如果一个人不明白自己的精神储备，不知道自己有多少、有什么样的精神Money，往往就会让自己的精神Money是越用越少，世人称之为心理疲劳。如果这样，速度快，只不过是让精神Money消耗得更快些罢了，自然累死在中途，达不到终点了。
时间管理的目的，我们提出，其实不是去完成具体的工作目标，而是让学习流程（投入、产出）进入良性循环，从而让小钱逐渐变大钱。
那么怎么做呢？首先，自然是要明白自己精神储备的结构，精神Money到底是什么？将这个结构探索清楚后，我们就知道，每件事在相应时间段中，所处于我们精神结构中的位置，或曰标签。这些标签，就是我们时间管理的依据。
由此又一次可见，个人精神动力、结构的探索确实是首要的问题。但即使对这个基础问题，我们没有清晰的答案，也还是可以对下一步的时间管理稍微说点什么。
我们可以用一些简单的精神标签，贴在我们做过、或要做的事情上。譬如，（紧要度、需要度、重要度）×（兴趣度、自信度、繁难度）。现在流行的一些时间管理原则实际上就是这个意思，它们说，每天早上，先给今天要做的事情区分紧要度、重要度，然后再去做它，自然会事半功倍。除了紧要度、重要度以外，当然你还可以加上兴趣度、自信度。。。
这些精神标签的各个度，在不同的时间段其量值可能不同。譬如上网玩游戏或其它业余爱好，在工作周里，其在内心的重要度和兴趣度的值就应该很低，因此看到它们，往往视若无睹，持无所谓的态度。而在休息日里，则可以让其需要度和兴趣度高些，非常投入地在其中发泄自己的情绪。又如，对于一本书，我们的自信度，在平时可以稍低些，老觉得自己没有真弄懂它，这可以促进我们不断地把它钻研清楚。但考试时，则自信度要高些，才有利于考场发挥。
诸如此类，现在每件事情，在每段时间情景中，大概都有了它的精神标签。以此为依据，我们就可以合理地分配我们的时间流。例如，由最简单的思考可得，我们不可能将所有繁难度最高的事都集中在一起做，而应有所分散。再者，紧要度高的事情应该先做，重要度高的事情要多化些时间做。因此紧要度、重要度高的事情不应该太多，即所有事情的要度相加，每天应该是个定值，而不可能增到无穷大。另外，每天所完成事情的兴趣度相加，应该有个下界（大于一个值），否则人生会感到无趣。同时，紧要度、重要度、兴趣度、繁难度都符合所谓的80:20原则，即20%的事件（或曰时间）集中了度数总和中的80％值，你要把那个时间的刀刃找出来。
以前时间管理类书籍中种种的精神标签一般有一个缺点，就是线性的，缺乏系统化思维的结构。因为我们的精神世界，确实如中国古人所说，是有阴有阳的，阴阳平衡才能让系统进入良性循环。所以这些标签还是不完全和肤浅的。
当一个人对精神结构的了解越深入，他制作的时间管理标签就会越来越多的带有系统化思维的味道。假设我们知道得还不是太深入，即使如此，我们还是会多少知道一点意识和潜意识的概念和道理吧。同一件事情，在一个人意识中和潜意识中，其（紧要度、需要度、重要度）×（兴趣度、自信度、繁难度）很可能是不同的，要分开，阴阳相分。你要判断，这件事情的意识标签和潜意识标签若不同，对于你来说是有益还是有弊的，以此来保持或改变标签。意识上的精神标签是容易改的，潜意识标签就难改变得多，但也不是不可能，如通过团队文化、自我意念长期影响，都可以起到一定效果。
在意识中认为重要、富有兴趣的东西，和潜意识中认为重要、富有兴趣的事情往往是不一样的。不妨把它们看作两个环路：
工事的意识标签系统
时间投入
工事的潜意识标签系统
其中第二个环路，潜意识环路是具有延滞效应的，即并不是能立刻完成的。我们必须用系统思维的眼光去考虑，才有可能让这两个环路进入良性循环。一个人不可能只做其中一个环路的事情，而不管另一个环路，否则只能导致整个系统崩溃。相反，如果以两个环路的眼光看世界，天地可能会更宽。譬如一个环路解决不好的事情，就让另一个环路去解决吧。经常听故事中讲，天才从潜意识或梦中得到灵感，其实就是意识环路中解决不了的问题，放下来，到潜意识环路中终于得到解决。但是注意，因为潜意识环路具有延滞性等等弱点，所以我们不可能什么事情都放到潜意识环路。有些事在意识环路里能解决的好好的，放到潜意识环路中，反而不一定能按时完成任务。再则，所有工事的重要度之和是个常数，符合80:20原则，潜意识中放的任务自然也不能太多。
大方向就是如此，那么如何创建、调配这些事件的精神标签，以此为依据，在时间流中设法安排这些工事，就是我们必须在实践中探索才能知道的。随着这些探索，我们反过来对人性的精神结构会有更深入的了解，精神标签也就越来越丰富，越来越反映人本性本能中的系统结构。关于此，我们可在以后面对面的交流中，给出这个结构系统化的刻画。
小结：时间管理是大学学习中可能出现的第二大困难。除了态度上重视它以外，很多人容易忘记，我们首先要做到的是
“知己知彼”。
知己是明白自己的一般性学习能力，知彼是要对学习的知识大概会具有的紧要度、重要度、繁难度、兴趣度有一定的把握。
C．小组学习
小组学习就是过去讲的集体主义精神，现在公司里讲的团队精神。为什么我们会在解决完个人问题A、B后，作为大学学习状态（态度）的最后一个大问题，大力提倡它呢？
这是因为，学习形式共有三种，前两种，课堂讲授式学习、课下读书式自学，是我们以前就知道的。但实际上还有第三种学习形式，即小组研讨式学习。只有三种学习形式都被充分地利用，才可以说是一个完整的教育模式。可惜我们的教育体制没达到这一点，中学是时间安排上，就不利于做到后两者。大学是，时间有了，但目前还缺少对第三种小组学习方式的良好组织机制。
为什么要小组学习呢？首先因为小组学习会产生乘法效应。我们还是用一个挣钱的公司来比喻吧，工作被一个小组中的n个人，分为n份，这样公司就可以挣到n倍于一个人的钱，可是分到每个人头上也还是只有一份，再加上，团队的内耗效应，就比一份还少了。所以这是很多人不愿意跟人合作的一个重要原因，因为他们组成的上述团队只起到了加法效应。
真正的团队精神应该是乘法效应的，团队分担工作，但遇到问题时，却共享整个团队中成员的能力，从而不是简单的加法效应，而是乘法效应，收益为
n×n＝（工作被分成n份）×（能力在出现问题、解决问题时被共享为n倍）。
结果均分利益n份后，每个人得到的是原来的n倍。更何况如果是精神领域里面，利益只会共享，是不用均分的。上面的乘法都是理想化的，但是可以大概比喻一下意思。
小组学习的第二个好处，就是你学会了这种工作方法，学会了不光可以跟别人一块踢足球，也可以一起聊数学，学会了在人与人交往的乐趣中学数学。这样，你就把数学学活了。当然你可以将这里“数学”换成任何一门研究工作。
从理论上听得很好，不过在我们新生中，还会遇到一个问题。因为大家目前的知识面基本相同，所以能力上相加，不会是n倍，而往往只是团队中最强的那个人的能力。所以从表面上看，这只会对团队中弱的那些人会更好，而最强的人反而吃亏。那么最强的人自然不愿意了，退出。接着第二强的变成最强的，又好处不大了，退出。如此递推，小组就没了。那么解决这个问题的建议是：
a. 愿望共享：在我们的小组学习中，大家的愿望或者说目的、意愿应该是基本相同的才行。这样在小组中愿望才能积累相加（否则不就相减了吗），然后再被每一个人共享。如此你个人的愿望，或者叫做学习动力就是n倍了。这是解决动力问题的一个重要手段。所以能力强的同学，即使他暂时不能从别的同学那得到能力上的叠加，但他仍然可以从与别的同学的愿望共享（积累）中获得好处。这个好处比能力更具有关键性。注意前提是，这个小组中各成员的志愿是相同、和谐的。否则就干脆不要这个小组算了。也因为这个原因，大学老师不会硬性规定组成什么小组。完全靠学生自由组合。国外的很多学习课程的考试，就已经是以小组为单位的了，每次的小组都是自由组合的。需要注意的是，那种以为小组学习、考试可以让某成员偷懒的情况，实际上是不会发生的，因为下次别人就不会和你组成小组了，除非大家都是得过且过的人。国内在小组学习上，不管是中学还是大学都做的不好。所以我们的课程在小组学习方面，没有可操作的经验。但如果有同学自愿组成小组后，可以请任课老师具体指导，比如i.疑难解答小组学业问题。ii.请老师参加小组的演讲，看看老师是如何做学生的。iii.可以通过任课老师与更多的老师进行联系，不仅是首师大的，我们很多的老师都跟北大、中科院那些学校的老师、博导们有学术的联系。只要大家组成一个认真工作的小组，有交流意识。可以说，所有的老师都会提供他能做到的帮助。
b. 能力分化：就需要我们的小组成员，在逐渐建设时，自然而然地出现能力分化。这样在不同方面，会有不同的最强的人。最具体的，比如这个人英语强，那个人数学强。这不是硬性计划，而会是现实中自然而然的结果。这一点，在以后研究生乃至工作后的合作小组中会更突出。
c. 小组的演讲：因为演讲对演讲者本人的帮助，实际上往往大于听众。美国数学学会在它的正式报告中就指出，要掌握一门数学仅听过课后是不行的。更要有两种方法：一个就是把这个内容演讲、开课；另一个是把它应用，比如学一门后继课程或者是去科研实践。所以最强者在这个小组中做演讲，几次下来后，他会发现对他的帮助也是很大的。而且他会发现，别人虽然比他弱，但在他讲课的过程中，仍能给他帮助，最简单地比如找错，因为自己的错自己是很难发现的。
d. 虽然小组学习被我说得这么好，但在现实中如果你找不到志同道合的人一块学习，那还是一个人学习的好。哪怕因此而显得特立独行，混世和俗反而会害了你自己本来的理想。另外，即使组成小组的话，也要让小组人数不超过3人，以保持高效率。同时在学习过程中，若某成员最终被证明不具有与你同样的努力时，应该立刻结束与他的共同学习，不要被他拉了后腿，我所说的小组学习并不是有的中学中提倡的那种好学生牺牲自己的时间、精力来帮助较差的学生。如果你不能从这个小组中获得好处，反而要牺牲，那还是赶快撤得好。
小结：小组学习是中学课堂式教育不能培养出的学习态度，但是它却会对自学式学习产生关键的作用。而我们大学学习的特点正是自学比例的不断加大。小组起作用来源于它对
愿望共享 能力分化
两个方面的乘法效应。实际上，这种乘法效应组织结构，应该是一个大学（团队）比另一个大学（团队）强的重要原因，而不仅仅这个大学的个人（在进入大学的时候）强。如果说到高考知识，北大的学生比Harvard的学生不见得弱，可能还要强，大学课程的考试繁难度，北大的也并不见得差。但大家可以去Harvard数学系的主页，看看他们对本科生的工作方法。将会发现他们的教学方法，使得Harvard数学系大四的学生能够作出多么好的工作，并且这种水平下的本科生论文演讲，可以排满整个学期（每周一次），这种演讲即使对于我们国内的教师来说，听了也会受益的。
二. 学习习惯
在有了正确的学习态度后，在探索具体的数学思维方法（数学修养）之前，我们要检验一下自己的学习习惯是否会好到让我们事半功倍的效果。下面都是根据我个人的经验和所见过的数学高手们的学习习惯所写。当然每个人都会有他的认识，但我写的是所有人的共性的东西，是独木桥。就是说下面的三点是学习道路上的独木桥，如果做不到的话肯定是学不好的，而不管他是笨蛋还是天才。如果你在实践中发现我是错的，你不需要这三点也可以学得很好，请及时与我联系、交流，确认你的情况属实，我会以100RMB作为赌注（赌注不大是因为我自己掏腰包，但还要打赌是为了发现天才和我的错误之处）。
A．随时提问
在我的课堂上是允许学生随时、随处提问的。这样做的好处是可以及时发现、解决学生的问题，进行有益的交流。有些同学会有两个担心：1影响课程进度，2自己问的问题太简单了，会影响别的同学，甚至让自己受到笑话。其实第二个问题，我已经教了好几年的书，还从来没发现过一个彻头彻尾的愚蠢问题。班上总会有10人以上具有与提问者相同的问题。所以解决他们的问题，不就是我们课程的真正的进度吗？当然，有些极为个别的情况，我会说，我们过一会或课下解决。但问不问的责任在你们学生啊，答不答的责任才在老师。而且从我的教学情况看这种情况极少发生。至于别的老师，若是他没这个规定，为了保持讲课的流畅性，学生可以在下课后问。你是付了钱和时间、精力上学的，有提问的权利，千万别不好意思。
很多同学会理解到上面说的话是对的。但更少的大一新生会理解到它的意义。它意义上的高度体现在
问题是一切自然科学的核心
自然我们的数学更是如此。实际上我们那些学得不太好的同学，他们的问题就出在他们连自己在数学书上到底哪里出了问题都不知道。与中学不同在于，想在数学上先把自己的问题找出来，很多同学能把这一点做到都不容易，要耗费高度的体力、智力。这一点刚从中学出来的大一新生可能没有体会，因为中学数学书不会给大家造成这样的困难，为什么呢？大家学过大学数学后就会发现中学数学从严格意义上还不能算作真正的数学，而只能叫做计算。所以当我跟大四学生讲这一点时，他们都深有感触。对于大学数学书，你要不抓着以提出问题为纲的想法，可能自己以为自己学会了，其实碰到有经验的人（任课老师、研究生、高水平本科生），问几个问题，甚至大多数就是书上的原话，可能自己还是会被一问一个倒。
B．随手记算
又是一个“随”，即在数学课堂上做笔记、同步（或超前）于老师计算。尤其是前者，可能在中学是没有过的。大家很多人可能从小到大，从来没做过数学笔记。现在到了大学为什么要做呢？
原因很简单，就是脑子不够用了。每个人总会碰到他能力的上限，即使你大一课程觉得脑子够用，那么总有一天，研究生(博士生)课程、科研实践的时候，会发现自己的脑子不够用了。我们大学的数学，不再可以像小学数学那样，聪明的学生可以靠心算就想出答案来。大学的公式演算，不靠笔，就靠耳朵和眼睛灌，据我的经验，大多数人没有那么聪明，还是得靠手写手算才行。我一直提倡随手记算这一点，但在我以前的数学课堂上，已经教过一年后，仍然有30%（或更多）的同学没有手里拿着笔，桌上放着白纸。其实在这些同学中，我并没发现有特别聪明过人之材。所以他们不做这件事的原因，也许还是学习动力不够吧。
进一步具体说一下为什么脑子不够用了，随手记算又是如何能起到帮助作用的：第一、就是你思维的速度跟不上眼睛阅读的速度了，但这时候，如果你做随手笔记计算的话，脑子思维的速度就能跟上比较慢的手写的速度。从而让自己可以认真地思考资料，不会因为眼睛速度快、脑子跟不上，而浮光掠影过去。第二、在课堂上做笔记，建议只记要点，下课再通过这些关键词和索引来回忆、整理出文本，这实际上就是我们后面要说的“筛卦”。
一般人对笔记的理解是用于积累资料，其实我们这里提倡的课堂随手记算的作用却更多的是上面这两点，着重于记的过程中发展我们的智力和修养。这个随手记算当然会对积累资料起作用，但课堂上的随手笔记也还只是为了真正的资料积累所做的草稿。
要成为对你以后学习有用的资料形式，你下面还需要对它进行（多次的）整理工作。课堂上随手记算出来的笔记只是第一次的草稿性笔记，而第二次笔记才是正式的整理性笔记，还有第三次、第四次笔记是思考性的、总结性的、有索引结构的索引式笔记，最后这些才是你的资料积累。有些同学说，我不爱记笔记，因为看笔记还不如直接看书来的方便呢。其实他所说的笔记不过是第一次的草稿性笔记，没有整理，过上几个星期后连自己都看不懂了，那当然是还不如直接看书来的方便呢。如果他有了最后的总结性索引式笔记，大家想想，他会更愿意看哪个，哪个更容易看。可为什么我们要搞这么多次呢，弄得这样复杂、这样累人呢？就是前面的原因，脑子不够用了。要靠有形的做法来帮助我们无形的大脑思维和感觉，当然还是有聪明区别的，可能有人经过的笔记整理次数多，有人少（为达到相同的理解掌握程度）。这样做的好处在于它会产生滚雪球的效应，有很多同学学大学数学会发现，学过的课程过上几个星期或者几个月以后，再看，书本跟新的一样。可如果你做了这些笔记的话，再看的时候，就可以以笔记为基础来滚雪球了，这个再细一点的解释我们放到下面最后一个学习习惯中讨论。毕竟这里我们强调的是上课时态的随手记算。
C.筛卦整理
首先问一个问题，学数学要不要记忆力。有些人可能说不要，那当然是胡说八道。但我要继续问下去，数学的记忆力跟英语的记忆力有什么异同之处？这个问题大家可曾仔细想过。如果这个问题没想清楚，用学英语的记忆方式，来学数学，那当然是事倍功半，得不偿失了。
它们的相同之处，可能在于我们记忆的过程中，都是把要记的、未知的东西，跟已经记住，耳熟能详的东西，联系起来，在记忆中“挂”在一起。譬如，英语单词，最好是通过句子，以及在句子中划出其它的关键词，来共同记住，这样要记的东西多，但难度反而会少。这是我们人类心理的特点，心理学上称作格式塔理论。数学亦不例外，我们要把未知的、繁难的公式，尽量地跟已知的、容易的公式，联系、“挂”在一起，此“挂”之义在周易中写作卦，我们在讲数学的记忆方式时就用此后者，以示区别。
那英语中的挂和数学中的卦，有何不同之处呢？记英语单词，我们主要记的是字母、发音和汉字或意思的对应，但是英文单词中的字母为什么那样组合，比如单词what这四个字母之间有什么关系，以及为什么这个组合方式就代表what的含义，我们是不管的，记住就是了。可是数学就不是这样，一个数学结构，你不仅要知道它跟外界结构的关系，也必须明白其内部所有符号的相互关系和组合原因。所以数学更多地是记公式中字母的组合方式和相互变化关系。我们为进一步理解数学中字母的组合方式和相互变化关系，举出两个具体信息，一个是根据换元法，公式中的字母本身是a还是b并不重要。这一点当然大大不同与英语单词的记忆习惯，what换一个字母就意思不同了。另一点是，虽然字母是什么并不重要，但你一定要知道这个字母表示的是数字还是几何或函数，同时确定它的特性：是任意的还是存在的，是常数的还是变量的，是依赖的还是自由的。而英文单词的每个字母可就没这些讲究，每个字母实际上是无意义的（除词根外，但词根里的单个字母也是无意义的）。综上所述，可以把数学中这些记忆统称为“组合式记忆”，不过心理学书中还没这个提法，我们就暂且这样叫吧。我们数学上实际记的就是组合方式。那些虽然记会了公式，但仍然不会做题的同学，可能是在这点上有问题，最低级的错误是比如上面罗列的那些隐藏在公式字母后面的数学意义之信息就没去弄明白，也没确定哪些需要自己去记。所以英语上的挂，只注重外在的组合关系，是硬“挂”。而数学上的卦，必须注重内外两方面的组合关系，是要思考的，要推理的，要换个偏旁的。
很多时候，做研究就像拼图游戏，若将很多碎片组合成一个有意义的图景，研究也就完成了。所以，我们不妨把这每个记忆碎片就称做一个“卦”，这个组合出的有意义的图景就称作“卦象”。
除了用“卦”字突出数学的组合式记忆特点外，它还能突出另外一点不同之处。英语要记的单词都罗列在词汇表中，甚至还有专门服务于背单词的书。但我们的数学要记的东西，是不是能很清楚的列成一个表，让大家伙记呢？是有这样的表，如我们数学分析之中的积分表（当然记的时候注意要记其组合方式啊）。除此以外，还需要记什么，老师能给学生出一个罗列吗？回答是，在数学学习规律上，不可能有一个完全罗列表。大家可以发现，我们数学要记什么样的东西，本身就是一个问题。需要你选择和检验哪些是自己要记的，哪些不用记。那么有些人说，我不管那么多，所有的公式我都记住不就得了。这些人错了，因为用最少的记住的东西，通过推理、思考来复原整个数学内容，才能真正体现出我们的数学能力，去面对千变万化的数学题目。我们的各种考试，不管达标性的还是选拔性的，繁难度虽然不同，但都是为此设计的。
所以，英语中记单词，是所有的单词都要“挂”，而数学不是这样，要将内容缩减、索引成最少的标志点，以此最少标志点推出最多知识。所以数学上的“卦”，除了要注重组合之义外，还要注重索引之义。
而这些索引又是怎么制作出来的呢？这就牵扯到数学记忆方式的另外一个不同之处，记忆从表象上看就是重复，但英语的重复和数学的重复又有何不同之处呢？大家可能知道记忆理论中的“艾宾浩斯记忆曲线”，总之人可能是有一个遗忘临界点的。英语记忆，则最好是在此遗忘点之稍前重复，数学则不然，最好在此遗忘点稍后重复，因为我们学数学的最终目标，是把它忘了以后，仍然能推出来，比如对最重要的经典定理证明，应该达到这样的程度。当然往往第一次重复时，是达不到这个要求的，但也不是什么都回忆不出来，可能有20%的信息还是可以重现出来的。这就是我们的“已知”。这种临界点后重复法，能够把我们真正懂得的“已知”跟“未知”区分开来，就像一个筛子一样。
所以，一般来说，英语记忆有点像把记忆当作一个盒子，数学的记忆，则更像是一个筛子。那些没被记住的东西，筛出来的东西，显露出你的“未知”。这一点，非常重要，能否发现出你自己的问题，也就是“未知”，真正是大学学习中的大问题。那么怎么发现自己的未知呢？中学中的方法是做题，这个在大学自然仍然管用。而“筛”是另一个发现自己未知的方法，这些东西，为什么记不住呢，就是因为在里面藏有你不理解、未探索到的未知。对于这些东西，你要进一步把它挖掘出来，具体刻划出来，然后才能自己解决或找老师帮忙。
这个筛子筛出“未知”只是第一步，更重要的是，它要筛出挖掘出我们的索引。我们将前面筛出的20%“已知”和80%“未知”比较，这样就在我们的思维和正确答案之间搭上了一个桥梁，这个桥梁的桥柱就是我们的“索引卦象”。所谓索引就是标志点的集合。比如你可以给一个证明写出它的所有标志点，甚至进一步确定这些标志点之间的MindMap结构，MindMap结构分为RootMap（根谱结构图，类似于树状目录或家谱结构），RoadMap（道路结构图），MatrixMap（表格结构图）。这些标志点和其MindMap结构就是索引出的卦象。
过上两个星期后，重新“筛卦”时，就不是像第一次那样立刻拿书本看答案来比较了，而是先看你做的索引式笔记。你要比较自己做的索引式笔记的完整标志点和自己刚默写出来的信息之间的差别，想想看看，是什么原因让自己忘了这个标志点。然后再试图从这些地图式笔记的完整标志点来复原书本上的证明。如果过程很不顺，这就说明你的标志点卦象做得有问题，有些可能写少了，要加上；有些其实没什么用，减掉它，有些MindMap结构没有挖掘出来，要加上或修正。所有这些加加减减修正的过程就会产生我们学习上滚雪球的效应：你的每一次行动都是在上一次的基础上进行，且又是下一次成果的底子，反复数次，直至达到最完美的程度。
可见这个时间占用的比作业时间可能还要多，原因之一是，我们大学数学的有些作业本身就是很难的，第一遍你可能是花了很长时间或者就是根据提示甚至是答案才知道的，对于这样的问题，当时觉得会了，但再隔上几个星期后，可能还是不会做，只能想出部分信息点出来。所以做作业本身，也会用到“筛卦”方法。而大学数学中最难的题，不是作业题，而是书中的定理证明，尤其是那些带名字的定理（Roll定理、Cramer法则），更是需要“千筛百卦”。
这样做是非常苦的，它会花相当多的时间。但是没有别的方法，为了能够掌握书本上的思想方法，这是我发现的最省事、最有效的操作性途径。你会发现，这个相当多的时间是局部的，而从整体上，这是最省时间的做法。有些同学看书不认真，每次也许看的时间不多，局部时间花得自然比“筛卦”少。但这样看，每次看书都会跟新的一样，都要从头看起，反而整体上花的时间多了。更有甚者，如果一个人有考研的要求的话，等大三匆匆忙忙再学一遍，当然不如我们已经 “千筛百卦”过的索引式地图式笔记管用了。那时，有充足的时间用来保证高水平的考试，成功才成为可能。我今年遇到的这几个大四学生，吃的就是这个亏。他们的起飞基础和他们的目的愿望差的太远了，没有从大一起就用到滚雪球机制的学习方法。这一点，是大学数学和中学数学的绝大不同之处。
切记、切记，没有更容易的方法了，这个苦是必须吃且非常值得吃的，它不仅利于考试，更能极大地提高你的数学修养。数学修养的培养方式，一种是跟数学高手经常接触，进入数学核心团队，朝夕相处熏出来的。但内在的自力更生之法就是我们这的“筛卦”，试想，刚开始使用“筛卦”之法时，要筛好几遍，才能筛出适合自己的完美“卦象”。但是随着长期的练习，雪球的滚动，再看新知识时，可能只要筛一两遍，就能索引出完美的卦象。想想看，你能一眼就看出数学文章中的标志点，发现标志点间的结构关系，就好像你的本能一样，这不就是数学的眼力和修养吗。
小结：将我们以上提出的三个要点可以归结成：
滚动学习法＝提问×（笔记+筛卦）
称为滚动学习法，是因为它可以产生滚雪球的学习效应。当然，这个滚动开始的时候很苦，要耗费掉很多我们在学习动力培养中得来的“钱”。可是它在所有能够达成你理想的道路选择中，是那条最短、最省油、最安全的路线。
三．数学修养
下面只是提出了我们要着重练习的基本数学思维能力。但大家要真正理解掌握，则必须在课程的具体例子之中。现在，它们对于大家不过是文字，先有个印象，模糊地知道努力的方向。
A符号对应
解释：符号在一个地方变了，跟它相关的符号会在其它地方跟着变，自己要保持着对这种符号对应变化的跟踪能力，这是最基本的能力。
举个例子，有位其实在他们班上学得很好的同学问我问题（今年已考上中科院研究生），王老师，这个地方 “M<…..”,我不太明白，给我讲讲吧。我当时已在首师大教了两年，对学生有了一定的了解。我就问，你先告诉我这个 M 是什么，在哪里，结果讲不出来。自然，连这个都不知道，那还问什么啊。大家别笑，这种事情会经常地出现，因为我们的大学数学是会不断的出现新符号（概念），那么能不能跟上这种符号对应，是数学具体学习中遇到的第一个困难。
大家不要轻视这个困难，符号对应的习惯对于我们大多数人类来说，不是天生的。比如，我从讲台上往外扔一根粉笔，你绝对不会认为桌上的粉笔盒会因此发生什么改变。但是在数学中，一个地方的符号变了，可能很远的一个地方的另一个符号也应该发生相应变化，如果你跟不上这个变化，那出错是难免的。我们大家数学上的大部分错误就来源于此，所以我们要养成平常生活中基本没有的条件反射“符号对应”。
B.变形
中学中就已经很是重要的换元法，可以算是这里说的“变形”方法的一条。上了大学后还会有另外几种变形方法，但换元法无疑是基础。你达到要求了吗？可以拿我们的“Elementary Math for freshman”测一测。
与上相同，我们再说一下变形方法跟我们平常生活习惯的不同，从而明白变形法对于我们人类本性上的困难。变形法就好像化妆术，但生活中一个人化妆后，我们还容易认得，这个过程甚至是自动的。但数学中就难了，我们往往得主动思考，才能发现此问题不过是彼问题的一个变形。
C．组合
组合就是把不同的东西拿来混在一起思考。我只指出两个最重要的例子。
1公式、几何、汉语解释的互相转化，
比如看见书上只有公式，看自己能不能把它用汉语解释出来，或者画个图表示出来。反之亦然。如此才能说是学通了。
2两条道路互相比较，从而得到答案。我们数学上经常爱玩这个花招。中学的解方程其实就是这个道理。方程左边变化，再和方程右边的变化比较，最后得出答案。通过比较我们更可以知道数学中的奇妙在哪里。
小结：明白了这些数学的思维方法观点，我们带着这样观点去看书时，定理、公式才不再是一堆符号的集合，而是思想上可以感知的实在。我们也会好像学到了化功大法，那些学问才能被真正的吸收、融解、繁殖。同时的，当你们给每一种思维法中找到自己（特有感觉）的范例时，这些理解也才能活起来。不过在这个过程中，你不要误以为我们的目的就是为了读书，忘了自然科学的真正使命或曰核心是解决问题，做题仍然是关键的。只不过与中学时有两个不同。第一点，在中学下了课，基本不用再仔细复习看书，就开始找题做了。可是大家会发现在大学，必须在下课后，再如老牛一样地反刍（我们称为筛卦式复习法），将课本内容融会贯通后，才有可能把习题作出。所以中学做题，好像开门见山，大学做题有如进山寻宝，需要在找到、挖到宝藏前做很多的知识准备工作。第二点，大学开始，学生（起码是那些准备考研的）要逐渐学会做科研，其实就是做题。不过要求是这道题以前没人做过。所以有可能这道题本身就是你自己出的，你的科学(数学)修养在这时就起作用了，一是要保证做的出来，最重要的二，是更保证别的科学家重视你的问题和结果。另外时间上表现为，中学奥林匹克可能是用3个小时做6道（自己没见过的）题，科研则可能是用1000个小时做一道（所有人没做过的）题。本科生科研会相对容易一些，但动真格的也要上百小时。这么长尺度的时间中，前面所说到的三大方面素质都会起作用，而数学修养的作用是保证你不至于走的太久而迷路。
结语：说了这么多，希望的是系统地表示大学和中学的学习方法的不同之处。以供大学一二年纪的新生们能够尽快地走出迷糊，开始自己的人生规划。不过聪明的同学会发现，虽然这些不同是现实存在的。但反过来想想，中学生又何尝不可以使用上面这些所谓的大学学习方法进行学习呢？所以这个不同仅仅是我们的教育制度产生的，中学和大学的学习方法应该本质上是没有什么不同的。我们这里不过是借提出这个问题，来引开我们的思考而已。
存留的重要问题
A. 精神领域（数学领域）中的“Money”是什么？
你要培养自己的内在学习动力，总得先知道它是什么才对。有人说是兴趣，有人说是做题。更有人错认为是外在压力，可是缺了内在动力，一条腿蹦着走路总是太累。对于每个个人也许标准答案是不同的，但我希望大家最好用动词来描述。然后你也就知道如何让自己内心的这个“钱”进入良性循环，越工作越多，当然这是要在艰苦的探索中才能悟到、做到。
B. 什么样的学习方法或学习习惯会使得你的学习产生“滚雪球”似的效应？
我们的答案是“筛卦”和“索引式笔记”。当然大学四年的时间可以让你去寻找到最适合自己的答案。课堂上的随手记算是比较容易做的，但是要把这些草稿转化为我们以后能够使用的资料形式。需要整理很多遍。这个资料形式我们取了一个令人启发的名字：地图式笔记。但它到底与课本形式具有哪些不同之处，它的具体形式、规格、范式是什么样的？我们只是说了很少的提示。同时，因为它是个人化的，所以同学们无法从已有的教科书和文章中发现它的范例，以资学习。不过大家在做的过程中会探索到它的真谛，来检验自己做的地图是否精巧。也许，你要探索很多年才能发现最适合自己的地图册记法。
C. 如何在你的同学中发现和你志同道合的人，组成自学小组，这个当然不是问题而是行动。如何给这个小组制定好的目标、计划和工作方法？是进山寻宝过程中要解决、会解决的问题。但，不管是问题还是行动，中国学生普遍不重视，因而在这方面损失巨大、造成遗憾。也许这些志同道合的同学，比老师对你的作用还要多些。
D. 如何能看懂数学定理？而不仅仅是一堆符号的集合，不仅仅是一些逻辑的步骤。怎样找到适合自己的理解数学的化功大法？
总之，之所以还没有进一步论述这些的问题，给出解答方法，不是因为我没有时间打字了，而是为了让学生可以在做中思考。目前的版本已经足够让同学们开始起步了，因为其中在系统论述的架构下已经包含了很多操作性的方法。老师以后的作用是通过与学生的具体交流（最好以小组为单位，这样可以真实交流），来加速学生的这一进程。

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